یافتن اکسترمم‌های مطلق در یک بازه بسته

یافتن اکسترمم های مطلق در یک بازه بسته

یکی از مباحث مهم و تست خیز در مبحث مشتق، یافتن اکسترمم های مطلق در یک بازه بسته است. این موضوع معمولا با بررسی نقاط بحرانی و دو سر بازه انجام می شود و اگر روش آن را به خوبی یاد بگیرید، حل بسیاری از سوالات مربوط به مشتق برایتان ساده تر خواهد شد.

در این مقاله می خواهیم به زبان ساده بررسی کنیم که اکسترمم مطلق چیست، چگونه می توان ماکزیمم و مینیمم مطلق یک تابع را پیدا کرد و چه تفاوتی بین اکسترمم مطلق و نسبی وجود دارد.

اکسترمم مطلق چیست؟

قبل از اینکه سراغ روش حل سوالات برویم، بهتر است ابتدا با مفهوم اکسترمم آشنا شویم.

به طور کلی، اکسترمم به بیشترین یا کمترین مقدار یک تابع در یک دامنه مشخص گفته می شود. بنابراین اگر یک تابع در کل بازه مورد بررسی، از یک مقدار بیشتر نشود، آن مقدار ماکزیمم مطلق تابع است. به همین شکل، اگر هیچ مقداری از تابع در آن بازه از یک مقدار کمتر نباشد، آن مقدار مینیمم مطلق خواهد بود.

پس در پاسخ به سوال اکسترمم مطلق چیست می توان گفت:

اکسترمم مطلق شامل بیشترین و کمترین مقدار تابع در کل دامنه یا بازه مورد بررسی است.

برای مثال اگر تابعی در یک بازه مقادیر مختلفی مانند ۲، ۵، ۸ و ۴ داشته باشد، عدد ۸ ماکزیمم مطلق و عدد ۲ مینیمم مطلق آن در آن بازه خواهد بود.

تعریف اکسترمم مطلق

فرض کنید تابع (f(x)) روی بازه (D) تعریف شده باشد.

اگر برای تمام (x)های موجود در دامنه داشته باشیم:

[ f(x) \leq f(c) ]

در این صورت (f(c)) ماکزیمم مطلق تابع در دامنه (D) است.

همچنین اگر:

[ f(x) \geq f(c) ]

برای تمام (x)های دامنه برقرار باشد، (f(c)) مینیمم مطلق تابع در دامنه (D) خواهد بود.

بنابراین در تعریف اکسترمم مطلق باید به یک نکته مهم توجه کنیم: مقدار مورد نظر باید نسبت به تمام نقاط بازه، بزرگ ترین یا کوچک ترین مقدار تابع باشد.

🔹️ در بعضی تست‌ها رسم تابع در تشخیص اکسترمم‌های مطلق و نسبی به شدت کارساز است
در فیلم‌آموزشی صفر تا صد ریاضی کنکور ، به شدت روی رسم تابع کار کرده‌ایم.

ماکزیمم مطلق چیست؟

ماکزیمم مطلق بزرگ ترین مقدار تابع در یک بازه یا دامنه مشخص است.

فرض کنید تابعی در بازه ([a,b]) تعریف شده باشد. اگر در هیچ نقطه ای از این بازه مقدار تابع از (f(c)) بیشتر نباشد، می گوییم تابع در (x=c) دارای ماکزیمم مطلق است.

به زبان ساده:

ماکزیمم مطلق یعنی بالاترین نقطه ای که نمودار تابع در کل بازه به آن می رسد.

البته باید دقت کنید که ماکزیمم مطلق با ماکزیمم نسبی یکی نیست. ممکن است یک تابع چند ماکزیمم نسبی داشته باشد، اما فقط یکی از آن ها بیشترین مقدار کل تابع در بازه باشد.

مینیمم مطلق چیست؟

در مقابل ماکزیمم مطلق، مینیمم مطلق قرار دارد.

مینیمم مطلق، کوچک ترین مقدار تابع در کل بازه مورد بررسی است.

برای مثال اگر مقدار تابع در نقاط مختلف یک بازه برابر با:

[ 3,\ 7,\ 1,\ 5 ]

باشد، عدد ۱ مینیمم مطلق تابع است؛ چون هیچ مقدار دیگری در این بازه از ۱ کوچک تر نیست.

پس هنگام حل سوالات باید هم به دنبال بالاترین مقدار و هم پایین ترین مقدار تابع باشیم.

اگر برای خرید بسته صفر تا صد ریاضی کنکور استاد سلامیان و یا مشاوره در مورد بهبود اوضاع ریاضی خود سوالی دارید، همکاران ما در مدرسه تخصصی ریاضی آماده پاسخگویی به سوالات شما هستند.

با شماره زیر تماس بگیرید:

۰۲۱-۲۶۶۴۵۱۶۱

و یا به شماره واتس اپ زیر پیام دهید:

09213363198

اکسترمم های مطلق تابع چگونه پیدا می شوند؟

برای پیدا کردن اکسترمم های مطلق تابع در یک بازه بسته، باید چند نقطه مشخص را بررسی کنیم.

اگر تابع (f(x)) روی بازه بسته ([a,b]) پیوسته باشد، برای یافتن اکسترمم های مطلق معمولا این مراحل را انجام می دهیم:

مرحله اول: مشتق تابع را به دست می آوریم

ابتدا مشتق تابع را محاسبه می کنیم:

[ f'(x) ]

سپس نقاطی را پیدا می کنیم که در آن ها مشتق صفر یا تعریف نشده است.

مرحله دوم: نقاط بحرانی را پیدا می کنیم

نقاطی که در آن ها:

[ f'(x)=0 ]

یا مشتق تعریف نشده باشد، نقاط بحرانی تابع هستند.

البته فقط نقاط بحرانی ای را باید در نظر بگیریم که داخل بازه مورد نظر قرار داشته باشند.

مرحله سوم: دو سر بازه را بررسی می کنیم

این مرحله بسیار مهم است.

اگر بازه بسته باشد، یعنی مثلا:

[ [a,b] ]

باید مقدار تابع را در دو سر بازه، یعنی (a) و (b)، نیز حساب کنیم.

بنابراین برای یافتن اکسترمم مطلق، فقط نقاط بحرانی کافی نیستند.

مرحله چهارم: مقدار تابع را در تمام نقاط به دست می آوریم

مقادیر تابع را در این نقاط محاسبه می کنیم:

• نقاط بحرانی داخل بازه
• نقطه (a)
• نقطه (b)

سپس همه مقادیر را با یکدیگر مقایسه می کنیم.

بزرگ ترین مقدار = ماکزیمم مطلق

کوچک ترین مقدار = مینیمم مطلق

این روش، مهم ترین نکته برای حل سوالات اکسترمم های مطلق است.

مثال یافتن اکسترمم مطلق در یک بازه بسته

تابع زیر را در بازه ([-2,3]) در نظر بگیرید:

[ f(x)=x^2-2x+3 ]

می خواهیم اکسترمم مطلق تابع را پیدا کنیم.

گام اول: مشتق

مشتق تابع برابر است با:

[ f'(x)=2x-2 ]

گام دوم: پیدا کردن نقطه بحرانی

مشتق را برابر صفر قرار می دهیم:

[ 2x-2=0 ]

بنابراین:

[ x=1 ]

نقطه (x=1) داخل بازه ([-2,3]) قرار دارد، پس باید آن را بررسی کنیم.

گام سوم: محاسبه مقدار تابع

مقدار تابع را در سه نقطه محاسبه می کنیم:

در (x=-2):

[ f(-2)=(-2)^2-2(-2)+3 ]

[ f(-2)=4+4+3=11 ]

در (x=1):

[ f(1)=1-2+3=2 ]

در (x=3):

[ f(3)=9-6+3=6 ]

حالا مقادیر را مقایسه می کنیم:

[ 11,\ 2,\ 6 ]

بزرگ ترین مقدار ۱۱ است، بنابراین:

ماکزیمم مطلق = ۱۱

و کوچک ترین مقدار ۲ است، بنابراین:

مینیمم مطلق = ۲

چرا دو سر بازه اهمیت دارند؟

یکی از اشتباهات رایج دانش آموزان این است که فقط نقاطی را که مشتق آن ها صفر می شود بررسی می کنند.

در مثال بالا اگر فقط نقطه (x=1) را بررسی می کردیم، به مقدار ۲ می رسیدیم و ممکن بود تصور کنیم این مقدار یکی از اکسترمم های تابع است.

اما مقدار تابع در (x=-2) برابر ۱۱ بود.

بنابراین ممکن است ماکزیمم مطلق یا مینیمم مطلق در دو سر بازه قرار داشته باشد.

به همین دلیل در سوالات یافتن اکسترمم مطلق در بازه بسته، همیشه باید دو سر بازه را بررسی کنید.

اکسترمم مطلق و نسبی چه تفاوتی دارند؟

برای درک بهتر موضوع باید تفاوت اکسترمم مطلق و نسبی را بدانیم.

اکسترمم نسبی

در اکسترمم نسبی، مقدار تابع را با نقاط نزدیک به همان نقطه مقایسه می کنیم.

مثلا ممکن است یک نقطه در نمودار از نقاط اطراف خودش بالاتر باشد؛ در این حالت می تواند یک ماکزیمم نسبی باشد.

اما ممکن است نقطه دیگری در قسمت دیگری از نمودار مقدار بسیار بزرگ تری داشته باشد.

اکسترمم مطلق

در اکسترمم مطلق، مقدار تابع را با تمام نقاط بازه مورد نظر مقایسه می کنیم.

بنابراین:

اکسترمم نسبی → مقایسه با نقاط اطراف

اکسترمم مطلق → مقایسه با تمام نقاط بازه

این تفاوت یکی از نکات مهم و پرتکرار سوالات مشتق است.

آیا هر اکسترمم نسبی، اکسترمم مطلق است؟

خیر.

ممکن است یک تابع چند نقطه ماکزیمم نسبی یا مینیمم نسبی داشته باشد، اما فقط یکی از آن ها بیشترین یا کمترین مقدار را در کل بازه داشته باشد.

برای مثال نموداری را تصور کنید که چند قله دارد. هر قله می تواند نسبت به نقاط اطراف خود یک ماکزیمم نسبی باشد؛ اما بلندترین قله در کل بازه، ماکزیمم مطلق محسوب می شود.

اکسترمم مطلق دوازدهم تجربی

بحث اکسترمم مطلق دوازدهم تجربی یکی از بخش هایی است که در مبحث کاربرد مشتق باید به خوبی یاد گرفته شود.

برای حل سوالات این بخش، لازم نیست همیشه محاسبات پیچیده ای انجام دهید. مهم ترین نکته این است که روش حل را به ترتیب انجام دهید:

1. مشتق تابع را به دست آورید.
2. نقاط بحرانی را پیدا کنید.
3. نقاط بحرانی داخل بازه را مشخص کنید.
4. دو سر بازه را در نظر بگیرید.
5. مقدار تابع را در تمام نقاط به دست آورید.
6. بزرگ ترین مقدار را به عنوان ماکزیمم مطلق و کوچک ترین مقدار را به عنوان مینیمم مطلق انتخاب کنید.

اگر سوال به صورت نموداری داده شده باشد، کار حتی ساده تر است؛ کافی است بالاترین و پایین ترین مقدار نمودار را در بازه مورد نظر پیدا کنید.

اکسترمم های مطلق و نقاط بحرانی

نقاط بحرانی نقش مهمی در پیدا کردن اکسترمم های تابع دارند، اما یک نکته را نباید فراموش کنید:

هر نقطه بحرانی لزوما اکسترمم مطلق نیست.

ممکن است یک نقطه بحرانی فقط یک اکسترمم نسبی باشد یا حتی هیچ اکسترممی ایجاد نکند.

به همین دلیل بعد از پیدا کردن نقاط بحرانی باید مقدار تابع را در آن نقاط و همچنین دو سر بازه محاسبه و مقایسه کنیم.

قضیه مهم برای اکسترمم مطلق

یکی از قضایای مهمی که در این مبحث باید بدانید، قضیه مقدار اکسترمم مطلق است.

اگر تابعی روی یک بازه بسته و محدود مثل ([a,b]) پیوسته باشد، حتما دارای یک ماکزیمم مطلق و یک مینیمم مطلق است.

یعنی اگر تابع روی چنین بازه ای پیوسته باشد، بالاترین و پایین ترین مقدار خود را به دست می آورد.

این قضیه دلیل مهمی برای اهمیت بازه های بسته در سوالات اکسترمم مطلق است.

نکات تستی اکسترمم مطلق

برای حل سریع تست های این مبحث، نکات زیر را به خاطر داشته باشید:

۱. دو سر بازه را فراموش نکنید

اگر بازه بسته است، همیشه ابتدا و انتهای بازه را بررسی کنید.

۲. فقط نقاطی که مشتق صفر دارند کافی نیستند

ممکن است اکسترمم مطلق در یکی از دو سر بازه قرار داشته باشد.

۳. نقاط بحرانی خارج از بازه مهم نیستند

اگر نقطه ای از حل (f'(x)=0) خارج از بازه سوال باشد، در پیدا کردن اکسترمم مطلق آن بازه نقشی ندارد.

۴. همه مقادیر را مقایسه کنید

بعد از محاسبه مقدار تابع، فقط کافی است بزرگ ترین و کوچک ترین عدد را انتخاب کنید.

۵. اکسترمم مطلق را با نسبی اشتباه نگیرید

ماکزیمم نسبی فقط نسبت به اطراف خود بزرگ تر است؛ اما ماکزیمم مطلق باید از تمام مقادیر تابع در بازه بزرگ تر یا مساوی باشد.

یک روش سریع برای حل تست

اگر در کنکور با سوالی مواجه شدید که از شما اکسترمم های مطلق تابع را در یک بازه بسته خواسته بود، این ترتیب را در ذهن داشته باشید:

مشتق → نقاط بحرانی → دو سر بازه → مقدار تابع → مقایسه

مثلا اگر بازه به شکل زیر باشد:

[ [2,5] ]

و یک نقطه بحرانی (x=3) داشته باشیم، باید فقط این سه مقدار را بررسی کنیم:

[ f(2),\quad f(3),\quad f(5) ]

بعد از مقایسه این سه مقدار، بزرگ ترین عدد ماکزیمم مطلق و کوچک ترین عدد مینیمم مطلق خواهد بود.

جمع بندی

در این مقاله بررسی کردیم که اکسترمم مطلق چیست و چگونه می توان اکسترمم های یک تابع را در یک بازه بسته پیدا کرد.

برای یافتن ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق ابتدا مشتق تابع را به دست می آوریم و نقاط بحرانی را پیدا می کنیم. سپس دو سر بازه را نیز در نظر می گیریم و مقدار تابع را در تمام این نقاط حساب می کنیم.

در نهایت با مقایسه مقادیر به دست آمده:

• بزرگ ترین مقدار تابع = ماکزیمم مطلق
• کوچک ترین مقدار تابع = مینیمم مطلق

مهم ترین نکته این است که در سوالات اکسترمم مطلق دوازدهم تجربی، هیچ وقت فقط به نقاط بحرانی اکتفا نکنید. دو سر بازه را هم بررسی کنید؛ چون ممکن است جواب اصلی سوال دقیقا در یکی از آن ها قرار داشته باشد.

سوالات متداول

۱. اکسترمم مطلق چیست؟
اکسترمم مطلق به بیشترین یا کمترین مقدار یک تابع در یک دامنه یا بازه مشخص گفته می‌شود. بیشترین مقدار، ماکزیمم مطلق و کمترین مقدار، مینیمم مطلق نام دارد.

۲. چگونه اکسترمم مطلق یک تابع را در بازه بسته پیدا کنیم؟
ابتدا مشتق تابع را به دست می‌آوریم و نقاط بحرانی داخل بازه را پیدا می‌کنیم. سپس مقدار تابع را در نقاط بحرانی و دو سر بازه محاسبه کرده و همه مقادیر را با هم مقایسه می‌کنیم.

۳. تفاوت اکسترمم مطلق و نسبی چیست؟
اکسترمم نسبی فقط با مقادیر تابع در اطراف یک نقطه مقایسه می‌شود، اما اکسترمم مطلق با تمام مقادیر تابع در بازه مورد نظر مقایسه می‌شود.

۴. آیا اکسترمم مطلق همیشه در نقطه بحرانی قرار دارد؟
خیر. اکسترمم مطلق ممکن است در یک نقطه بحرانی یا در یکی از دو سر بازه قرار داشته باشد. به همین دلیل هنگام حل سوالات باید هم نقاط بحرانی و هم دو سر بازه را بررسی کرد.