تفاوت بین قضیه، لم و اصطلاحات مهم ریاضی

تفاوت بین قضیه، لم و اصطلاحات مهم ریاضی

در ریاضیات اصطلاحات مختلفی برای بیان مفاهیم، نتایج و روش های اثبات وجود دارد. آشنایی با این اصطلاحات ریاضی به ما کمک می کند تا مطالب ریاضی را بهتر درک کنیم. در این مطلب با تفاوت تعریف، قضیه، لم، گزاره، نتیجه، حدس، ادعا، اصل، اتحاد و پارادوکس آشنا می شویم.

💢 تعریف Definition 💢 

به طور کلی، تعریف و شرح دقیق یک اصطلاح ریاضی باید بتواند ویژگی های مفهوم مورد نظر را به طور واضح بیان کند. تعریف در ریاضیات معمولا برای مشخص کردن معنی یک مفهوم یا واژه به کار می رود و خودش نیاز به اثبات ندارد.

💢 قضیه Theorem 💢

در صورتی که بتوانیم با کمک استدلال های ریاضی یک عبارت را اثبات کنیم، به آن قضیه گفته می شود. قضیه ها معمولا نتایج مهم و قابل توجهی هستند که از تعاریف، اصول و نتایج قبلی به دست می آیند.

تعریف قضیه در ریاضی

تعریف قضیه در ریاضی را می توان یک گزاره یا عبارت ریاضی دانست که درستی آن با استفاده از استدلال و برهان ریاضی اثبات شده است. بنابراین اگر سوال شما این باشد که قضیه چیه یا قضيه در ریاضیات به چه معناست، می توان گفت قضیه یک نتیجه اثبات شده در ریاضیات است.

املای درست این واژه نیز «قضیه» است و در متون فارسی گاهی شکل بدون اعراب آن به صورت «قضيه» نیز دیده می شود.

برخی از مقالات: دبیر ریاضی

💢 لم Lemma 💢

لم چیست؟

لم چیست؟ لم به یک نتیجه یا گزاره کمکی گفته می شود که معمولا برای اثبات یک قضیه یا نتیجه مهم تر مورد استفاده قرار می گیرد. به زبان ساده، لم یک ابزار اثبات است که به ریاضی دان کمک می کند تا مسیر اثبات یک قضیه را ساده تر کند.

اگر بخواهیم خیلی ساده بگوییم لم چیه، می توان گفت لم یک نتیجه اثبات شده است که معمولا به عنوان مرحله ای برای رسیدن به یک نتیجه بزرگ تر استفاده می شود.

از لم های شناخته شده در ریاضیات می توان به لم زورن (لم زرن)، لم اوریسون، لم برنساید و موارد دیگر اشاره کرد.

لم زورن چیست؟

لم زورن (Zorn’s Lemma) یکی از لم های مهم در ریاضیات است که در بسیاری از مباحث ریاضی، به ویژه نظریه مجموعه ها و جبر، کاربرد دارد. نام آن گاهی به صورت لم زرن نیز نوشته می شود.

💢 گزاره Proposition 💢

گزاره عموما به یک عبارت یا نتیجه ریاضی گفته می شود که می تواند درست یا نادرست باشد و در بسیاری از متون ریاضی، به یک نتیجه اثبات شده با اهمیت کمتر از یک قضیه اصلی نیز Proposition گفته می شود.

💢 نتیجه (فرع) Corollary 💢

با کمک نتیجه یا فرع می توان به نتیجه دیگری رسید که معمولا به صورت مستقیم از یک قضیه یا نتیجه قبلی به دست می آید. برای مثال، اگر با استفاده از قضیه A به نتیجه B برسیم، نتیجه B می تواند یک فرع یا Corollary برای آن قضیه باشد.

💢 حدس Conjecture 💢

به گزاره ای که هنوز به اثبات نرسیده، اما شواهد و بررسی های موجود از درست بودن آن حمایت می کنند، حدس گفته می شود. حدس کولاتز و حدس گلدباخ از نمونه های شناخته شده حدس در ریاضیات هستند.

💢 ادعا Claim 💢

ادعا یا Claim معمولا به یک گزاره یا نتیجه مطرح شده در جریان یک بحث یا اثبات گفته می شود که باید برای آن استدلال یا اثبات ارائه شود. برخلاف لم و قضیه، «ادعا» یک اصطلاح رسمی و دارای درجه مشخصی در سلسله مراتب نتایج ریاضی نیست.

برخی از مقالات: آموزش ریاضی

💢 اصل Axiom / Postulate 💢

با کمک اصول می توانیم به اثبات قضایا بپردازیم. در واقع، اصل یا Axiom گزاره ای است که در چارچوب یک دستگاه ریاضی بدون نیاز به اثبات پذیرفته می شود و می توان نتایج دیگر را بر اساس آن به دست آورد.

💢 اتحاد Identity 💢

با کمک اتحاد می توانیم تساوی دو عبارت یا کمیت را بیان کنیم؛ به طوری که تساوی مورد نظر برای تمام مقادیر مجاز متغیرها برقرار باشد. اتحاد اویلر یکی از نمونه های معروف اتحاد در ریاضیات است.

💢 تناقض یا پارادوکس Paradox 💢

پارادوکس به نتیجه یا موقعیتی گفته می شود که در نگاه اول با شهود یا برداشت معمول ما ناسازگار به نظر می رسد و می تواند از مجموعه ای از تعاریف یا فرضیات به یک نتیجه ظاهرا متناقض منجر شود.

پارادوکس باناخ ـ تارسکی یکی از نمونه های شناخته شده در ریاضیات است که نتایج آن در نگاه اول بسیار دور از انتظار به نظر می رسد.

در مجموع، اصطلاحاتی مانند قضیه، لم، گزاره، نتیجه، حدس، اصل و اتحاد هر کدام کاربرد خاص خود را در ریاضیات دارند و شناخت تفاوت میان آن ها، درک بهتر مباحث و اثبات های ریاضی را آسان تر می کند.