حل معادله درجه سه

شکل کلی یک معادله درجه سوم که به عنوان معادله مکعبی نیز شناخته می شود، ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 است که در آن a، b، c و d اعداد ثابت هستند.

معادله درجه سوم چگونه حل میشود؟

روش هایی برای حل یک معادله مکعبی وجود دارد، اما یک راه متداول استفاده از فرمول به دست آمده توسط ریاضیدان ایتالیایی جرولامو کاردانو در قرن شانزدهم است.

این فرمول شامل یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم است که از معادله درجه سوم اصلی به دست آمده است. با این حال، همه معادلات درجه سه را نمی توان با استفاده از این روش حل کرد.

در برخی موارد، روش‌های عددی مانند نیوتن رافسون یا روش سکانت ممکن است برای حل تقریبی معادله درجه سوم به‌کار رود.

روش نیوتن-رافسون در حل معادله درجه سوم:

روش نیوتن رافسون یک روش عددی رایج به کمک سعی و خطا برای یافتن ریشه یک معادله است. برای حل یک معادله درجه سوم با استفاده از این روش، می توانیم مراحل زیر را به ترتیب انجام دهیم:

معادله را به شکل f(x) = 0 بنویسید که f(x) یک تابع چند جمله ای درجه 3 است.

یک حدس اولیه x0 را برای ریشه معادله انتخاب کنید.

از فرمول نیوتن رافسون استفاده کنید:

x1 = x0 – f(x0)/f'(x0)

که در آن f'(x0) مشتق f(x) است که در x=x0 حساب می‌شود.

مرحله 3 را با x1 به عنوان حدس جدید تکرار کنید ، تا زمانی که تفاوت بین دو تقریب متوالی در حد تقریب مورد نظر شما باشد. مثلا میخ امید ریشه را نا دو رقم اعشار دقت پیدا کنید.

پس از یافتن جواب ، کنترل کنید که آیا معادله اصلی را برقرار می کند یا خیر؟

در اینجا یک مثال برای نشان دادن این فرآیند آورده شده است:

مسئله: معادله x^3 – 4x^2 + 3x + 1 = 0 را با استفاده از روش نیوتن رافسون حل کنید.

راه حل:

مرحله 1: معادله داده شده را می توان به صورت f(x) = x^3 – 4x^2 + 3x + 1 نوشت.

مرحله 2: یک حدس اولیه را انتخاب کنید، مثلا x0 = 1.

مرحله 3: فرمول نیوتن رافسون را اعمال کنید:

x1 = x0 – f(x0)/f'(x0)

اول، بیایید f'(x) را پیدا کنیم:

f'(x) = 3x^2 – 8x + 3

بنابراین، f'(x0) = 3(1)^2 – 8(1) + 3 = -2.

حالا با جایگزینی x0 و f'(x0) در فرمول، به دست می‌آییم:

x1 = 1 – (1^3 – 4(1)^2 + 3(1) + 1)/(-2) = 1.5

مرحله 4: مرحله 3 را با x1 به عنوان حدس جدید تکرار کنید:

f'(x1) = 3 (1.5)^2 – 8 (1.5) + 3 = 0.75

x2 = 1.5 – (1.5^3 – 4(1.5)^2 + 3(1.5) + 1)/(0.75) = 1.3889

مرحله 5: این روند را تا زمانی که به سطح مورد نظر از دقت دست یابیم، ادامه دهید. هنگامی که به آن نقطه رسیدیم، بررسی کنید که آیا جواب در معادله اصلی را برقرار یا ارضاء می کند یا خیر؟

به این ترتیب می توانیم معادله درجه سوم را با استفاده از روش نیوتن رافسون حل کنیم.

روش سکانت یا خط مماس در حل معادله درجه سوم

در این روش تابع را با خط مماس بر آن تقریب میزنیم و محل برخورد خط مماس را با محور ایکسها به عنوان تقریبی از جواب معادله گزارش می‌کنیم.

در واقع خط مماس را جایگزین تابع در یک نقطه می‌کنیم و آن خط را با محور طولها قطع می‌دهیم و عملا یک معادله درجه اول خطی حل می‌کنیم.

روش Secant یا تقریب زدن تابع با خط مماس بر آن؛ یک روش عددی است که برای تخمین ریشه های یک تابع استفاده می شود. برای استفاده از این روش برای حل یک معادله درجه سوم، می توانیم از مراحل زیر استفاده کنیم:

معادله درجه سوم را به شکل f(x) = 0 تبدیل کنید.

دو مقدار اولیه x0 و x1 را که نزدیک به ریشه معادله هستند حدس بزنید.

از فرمول روش secant برای تقریب ریشه استفاده کنید:

این فرمول در حقیقت معادله خط مماس بر تابع است که برابر صفر قرار گرفته و ریشه یک معادله درجه اول خطی میباشد‌:

x2 = x1 – f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0))

فرمول فوق را تا رسیدن به تقریب مورد نظر تکرار کنید.

اگر روش به جواب همگرا نشد، مقادیر اولیه جدید را انتخاب کنید و مسیر را مجددا تکرار کنید.

در اینجا مثالی از نحوه اعمال روش خط مماس برای حل معادله درجه سوم x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0 آورده شده است:

معادله را به شکل f(x) = 0 تبدیل کنید:

f(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6

دو مقدار اولیه x0 و x1 را که نزدیک به ریشه معادله هستند مانند x0=1.5 و x1=2 انتخاب کنید.

از فرمول روش خط مماس برای تقریب ریشه استفاده کنید:

x2 = x1 – f(x1)(x1-x0)/(f(x1)-f(x0))
= 2 – (2^3 – 62^2 + 112 – 6)(2-1.5)/((2^3 – 62^2 + 112 – 6)-(1.5^3 – 61.5^2 + 111.5 – 6) )
= 1.875

مرحله 3 را با x1=1.875 و x0=2 تکرار کنید:

x2 = x1 – f(x1)(x1-x0)/(f(x1)-f(x0))
= 1.875 – (1.875^3 – 61.875^2 + 111.875 – 6)(1.875-2)/((1.875^3 – 61.875^2 + 111.875 – 6)-(2^3 – 62^2 + 12) )
= 1.85714

این فرآیند را تا رسیدن به سطح مورد نظر از دقت تکرار کنید. اگر روش همگرا نشد، مقادیر اولیه جدید را انتخاب کنید و روند را از اول تکرار کنید.

بهترین فیلم ها و جزوات ریاضی

در وبسایت دکتر سامان سلامیان فیلم و جزوه ریاضی وجود دارد که دکتر سامان‌ سلامیان به طور کامل و زبان ساده همه مطالب ریاضی دبیرستانی را آموزش می‌دهند.

با مراجعه به این سایت ؛ آموزش،ریاضی ششم تا کنکور وجود دارد. خصوصا بسته جامع ریاضی همه نکات لازم برای کسب نتیجه خوب در کنکور سراسری و کنکورهای آزمایشی  قلمچی، گاج ؛ سنجش ، گزینه دو ؛ ماز وجود دارد.