معرفی معادله لگاریتمی و حل آن

تابع لگاریتمی نوعی تابع است که رابطه بین دو کمیت را نشان می دهد، به طوری که یک کمیت به عنوان لگاریتم دیگری تغییر می کند. به زبان دیگر وارون تابع نمایی است.

حل معادله لگاریتمی

شکل کلی تابع لگاریتمی به صورت زیر است:

f(x) = logₐ(x)

حل معادله لگاریتمی به صورت آن بستگی دارد. در اینجا مراحل حل برخی از انواع رایج معادلات لگاریتمی را برایتان شرح می‌دهیم:

1. معادله لگاریتمی با یک لگاریتم:

اگر معادله فقط یک لگاریتم داشته باشد، می‌توانید از ویژگی logₐ(b^c) = c*logₐ(b) برای ساده کردن معادله و سپس حل آن برای متغیر استفاده کنید. به عنوان مثال، معادله را در نظر بگیرید:

log2 (x – 4) + log2 (x + 2) = 3

با استفاده از قانون حاصلضرب لگاریتم، می توانیم معادله را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

log2[(x – 4) (x + 2)] = 3

سپس با استفاده از تعریف لگاریتم می توانیم معادله را به صورت زیر بازنویسی کنیم و در حقیقت لگاریتم را حذف کنیم:

2^3 = (x – 4) (x + 2)

بعد از ساده سازی، داریم:

8 = x^2 – 2x – 8

مجهول x را به دست می آوریم:

x = 4 یا x = -2

حال باید ؛ بررسی کنیم که آیا این جواب‌ یا جواب‌ها معادله اصلی را برقرار می‌کنند یا خیر، زیرا دامنه لگاریتم باید طوری باشد که جلوی لگاریتم منفی نشود.

2. معادله لگاریتمی با لگاریتم های متعدد:

اگر معادله دارای لگاریتم های متعدد باشد، می توانید از خواص لگاریتم برای تبدیل آنها به یک جمله لگاریتمی استفاده کنید ، معادله را تا حد امکان ساده کنید و سپس آن را حل کنید.

🎯 روش کلی برای حل معادله لگاریتمی این است که ابتدا لگاریتم را در یک طرف معادله جدا می کنیم و سپس از خواص لگاریتم برای ساده سازی و حل برای متغیر مجهول استفاده می کنیم. در اینجا مراحل کلی وجود دارد:

1.  عبارت لگاریتمی را در معادله مشخص کنید.
2. از خواص لگاریتم ها (مانند قانون توان یا قاعده حاصلضرب) استفاده کنید تا مسئله را درحد امکان ساده کنید.
3. عبارت لگاریتمی را در یک طرف معادله با اعمال عملیات جبری (مانند جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم هر دو طرف معادله) جدا کنید.
4. در صورت لزوم متغیر مجهول را با استفاده از عملیات جبری حل کنید.

توجه به این نکته مهم است که برخی از معادلات لگاریتمی ممکن است جواب‌های اضافه داشته باشند، به این معنی که معادله آخر را برقرار می‌کنند اما معادله اول اصلی را برقرار یا ارضاء نمی‌کنند. بنابراین، همیشه جواب‌های آخر خود را در مسئله اول اصلی کنترل کنید.

آموزش و یادگیری حل انواع معادلات و نامعادلات لگاریتمی

برای یادگیری حل انواع معادلات و نامعادلات لگاریتمی اینجا کلیک کنید.