نقطه بحرانی چیست؟ نقاط بحرانی تابع

نقطه بحرانی چیست؟ آموزش کامل نقاط بحرانی تابع به زبان ساده

اگر در حال مطالعه فصل مشتق در ریاضی هستید، احتمالاً با عبارت نقطه بحرانی یا نقاط بحرانی تابع روبه رو شده اید. بسیاری از دانش آموزان در ابتدا تصور می کنند پیدا کردن نقاط بحرانی سخت است، اما اگر مفهوم آن را به زبان ساده یاد بگیرید، حل بیشتر سوالات این بخش برایتان آسان خواهد شد.

سر و ته بازه نقطه بحرانی است؟ در این مقاله به طور کامل یاد می گیرید نقطه بحرانی چیست، چگونه آن را پیدا کنیم، چه تفاوتی با اکسترمم دارد.

تعریف نقطه بحرانی

تعریف نقطه بحرانی به زبان ساده این است:

هر نقطه ای از دامنه تابع که در آن یکی از دو حالت زیر برقرار باشد، نقطه بحرانی نام دارد:

• مشتق تابع برابر صفر باشد.
• مشتق تابع وجود نداشته باشد، اما خود تابع در آن نقطه تعریف شده باشد.

به بیان ریاضی اگر (x=a) باشد:

• (f'(a)=0)
• یا (f'(a)) وجود نداشته باشد و (f(a)) تعریف شده باشد.

این نقاط معمولاً محل تغییر رفتار تابع هستند و برای پیدا کردن بیشینه و کمینه اهمیت زیادی دارند.

نقطه بحرانی چیست؟

اگر بخواهیم خیلی ساده بگوییم، نقطه بحرانی چیست؟

نقطه بحرانی جایی است که نمودار تابع ممکن است:

• از صعود به نزول تغییر کند.
• از نزول به صعود تغییر کند.
• یا برای لحظه ای صاف شود.

به همین دلیل قبل از بررسی اکسترمم ها، ابتدا باید تمام نقاط بحرانی تابع را پیدا کنیم.

نقاط بحرانی تابع چگونه پیدا می شوند؟

برای پیدا کردن نقاط بحرانی تابع کافی است مراحل زیر را انجام دهید:

مرحله اول

از تابع مشتق بگیرید.

مرحله دوم

مشتق را برابر صفر قرار دهید.

مرحله سوم

نقاطی را که مشتق در آن ها وجود ندارد نیز بررسی کنید.

مرحله چهارم

بررسی کنید که آن نقطه در دامنه تابع قرار داشته باشد.

اگر این شرایط برقرار باشد، آن مقدار یک نقطه بحرانی است.

مثال

فرض کنید:

[f(x)=x^3-3x]

ابتدا مشتق می گیریم:

[f'(x)=3x^2-3]

اکنون:

[3x^2-3=0]

پس:

[x=\pm1]

در نتیجه تابع دارای دو نقطه بحرانی در (x=-1) و (x=1) است.

نقاط بحرانی چیست؟

به طور کلی نقاط بحرانی چیست؟

منظور از نقاط بحرانی، تمام نقاطی هستند که ممکن است رفتار تابع در آن ها تغییر کند. این نقاط لزوماً بیشینه یا کمینه نیستند، بلکه فقط کاندیدای اکسترمم هستند.

بعد از پیدا کردن نقاط بحرانی باید بررسی کنیم که آیا واقعاً تابع در آن نقطه بیشینه یا کمینه دارد یا خیر.

نقاط بحرانی و اکسترمم

یکی از مهم ترین مباحث ریاضی، ارتباط نقاط بحرانی و اکسترمم است.

اکسترمم یعنی:

• بیشینه محلی
• کمینه محلی

اما نکته مهم این است:

هر اکسترمم حتماً در یک نقطه بحرانی اتفاق می افتد، ولی هر نقطه بحرانی الزاماً اکسترمم نیست.

مثلاً ممکن است تابع در یک نقطه فقط جهت خمیدگی خود را تغییر دهد و نه اینکه بیشینه یا کمینه داشته باشد.

آیا هر نقطه بحرانی اکسترمم است؟

خیر.

مثلاً تابع

[f(x)=x^3]

دارای مشتق

[f'(x)=3x^2]

است.

در (x=0):

[f'(0)=0]

پس صفر یک نقطه بحرانی است.

اما تابع نه بیشینه دارد و نه کمینه؛ فقط شیب آن صفر شده است.

سر و ته بازه نقطه بحرانی است؟

یکی از سوالات پرتکرار دانش آموزان در مطالب درسی این است:

سر و ته بازه نقطه بحرانی است؟

پاسخ:

خیر، معمولاً خیر.

نقاط بحرانی فقط نقاط داخلی دامنه هستند که مشتق در آن ها صفر یا تعریف نشده باشد.

دو سر بازه، حتی اگر بیشترین یا کمترین مقدار تابع را داشته باشند، جزو نقاط بحرانی محسوب نمی شوند.

البته در سوالات مربوط به بیشینه و کمینه روی بازه بسته، باید مقدار تابع را در دو سر بازه نیز بررسی کنید؛ اما این موضوع با تعریف نقطه بحرانی متفاوت است.

نقطه بحرانی ریاضی دوازدهم

در نقطه بحرانی ریاضی دوازدهم معمولاً از شما خواسته می شود:

• نقاط بحرانی تابع را پیدا کنید.
• جدول تغییرات رسم کنید.
• بازه های صعود و نزول را مشخص کنید.
• بیشینه و کمینه محلی را بیابید.

به همین دلیل تسلط بر پیدا کردن نقاط بحرانی اهمیت زیادی دارد.

نقاط بحرانی ریاضی دوازدهم تجربی

در نقاط بحرانی ریاضی دوازدهم تجربی نیز دقیقاً همین مفهوم آموزش داده می شود.

روند حل سوالات معمولاً به این شکل است:

1. مشتق بگیرید.
2. مشتق را مساوی صفر قرار دهید.
3. نقاطی که مشتق وجود ندارد را بررسی کنید.
4. جدول علامت مشتق رسم کنید.
5. اکسترمم های تابع را مشخص کنید.

تفاوت نقطه بحرانی و اکسترمم

نقطه بحرانی	اکسترمم
مشتق صفر یا تعریف نشده است.	بیشینه یا کمینه تابع است.
ممکن است اکسترمم نباشد.	همیشه روی یک نقطه بحرانی رخ می دهد.
فقط یک کاندیدا برای بررسی است.	نتیجه نهایی بررسی جدول علامت مشتق است.

نکات مهم امتحانی

• ابتدا مشتق را محاسبه کنید.
• مشتق را برابر صفر قرار دهید.
• نقاطی که مشتق در آن ها وجود ندارد را فراموش نکنید.
• فقط نقاط داخل دامنه بررسی می شوند.
• سر و ته بازه جزو نقاط بحرانی نیستند.
• بعد از پیدا کردن نقاط بحرانی، با جدول علامت مشتق اکسترمم را تشخیص دهید.

جمع بندی

اکنون می دانید نقطه بحرانی چیست و چگونه می توان نقاط بحرانی تابع را پیدا کرد. به خاطر داشته باشید که نقاط بحرانی اولین قدم برای بررسی رفتار تابع هستند، اما برای تشخیص اکسترمم باید تغییر علامت مشتق را نیز بررسی کنید. همچنین پاسخ سوال رایج «سر و ته بازه نقطه بحرانی است؟» این است که خیر؛ اگرچه در مسائل مربوط به بیشینه و کمینه روی بازه بسته، بررسی دو سر بازه نیز ضروری است. با تسلط بر این مفاهیم، حل سوالات نقطه بحرانی ریاضی دوازدهم و نقاط بحرانی ریاضی دوازدهم تجربی بسیار ساده تر خواهد شد.

سوالات متداول

نقطه بحرانی چیست؟

نقطه ای از دامنه تابع است که مشتق در آن صفر باشد یا وجود نداشته باشد، اما خود تابع در آن نقطه تعریف شده باشد.

نقاط بحرانی تابع چه کاربردی دارند؟

برای بررسی صعود و نزول تابع و پیدا کردن بیشینه و کمینه از نقاط بحرانی استفاده می شود.

آیا هر نقطه بحرانی اکسترمم است؟

خیر. بعضی نقاط بحرانی فقط محل تغییر شکل نمودار هستند و بیشینه یا کمینه ایجاد نمی کنند.

سر و ته بازه نقطه بحرانی است؟

خیر. دو سر بازه جزو نقاط بحرانی نیستند، اما هنگام یافتن بیشینه و کمینه روی بازه بسته باید مقدار تابع در آن ها نیز بررسی شود.