مقالات ۱۹ خرداد ۱۳۹۷ زمان خواندن: ۶ دقیقه

الگوریتم دنباله فیبوناچی

“مدرسه تخصصی ریاضیات سامان سلامیان“

در مدرسه تخصصی ریاضی به آموزش مفاهیم ریاضی به زبان ساده اشاره می شود و شعار ما «در ریاضی بهتر از خود باشیم» می باشد.

درراستای تحقق اهداف کتاب درسی که هدف آموزش ریاضی را پرورش تفکر ریاضی می داند و استفاده افراطی از فرمول ها، الگوریتم ها، قواعد ودستورها بدون آگاهی از چگونگی وچرایی عملکردآن ها جایگاهی در ریاضیات مدرسه ای ندارد ، برآن شدیم تا این مقاله را خدمت شما ارائه نماییم. این مقاله می تواند هم برای دانش آموزان و هم برای دبیران محترم کاربردی وسودبخش باشد.

حتما درباره فیبوناچی ودنباله فیبوناچی مطالبی شنیده اید؛ باتوجه به جای خالی دنباله فیبوناچی ونسبت طلایی در کتب درسی ، نام این دنباله در کتاب حسابان و ریاضی2 آمده است . در ادامه برای توضیحات بیشتر وشرح وبسط آن به مطالبی اشاره می کنیم.

لئوناردو فیبوناچی، زاده پیزای ایتالیا ، نخستین ریاضی دان بزرگ اروپا در قرن سیزدهم میلادی است

فیبوناچی در سفرهایی که داشته است اطلاعاتی درباره سیستمهای مختلف محاسبه جمع آوری کرده وباتوجه به این اطلاعات چندین کتاب نوشته است . یکی از چندین کتابی که فیبوناچی نوشت، خلاصه ای از حساب وجبری بوده است که در سفرهایش جمع آوری کرده بود. در دو کتاب دیگرکه یکی در مورد هندسه ودیگری در مورد تئوری اعداد بود ، مثال های زیادی از ریاضیات مطرح شده شده بود. در همین نوشته ها بود که دنباله فیبوناچی برای نخستین بار ظاهر شد.

نکته قابل طرح وجالبی که بعد از آشنایی با دنباله فیبوناچی در این مقاله به آن اشاره خواهد شد ، نسبتی جالب بین اعداد دنباله هست که در نهایت ما را به نسبت طلایی می رساند.

الگوریتم دنباله فیبوناچی

دنباله فیبوناچی

مشهور است که فیبوناچی وقتی متوجه این دنباله شد که روی مسئله خرگوش ها کار می کرد :

«با شرایط مطرح شده در صورت مسئله ، در مدت یکسال از یک جفت خرگوش چند جفت خرگوش به وجود می آید ؟»

الف)هر جفت خرجوش در هر ماه ، یک جفت جدید به وجود می آورد که این جفت جدید از ماه دوم بارور می شود ؛ ب) مرگی اتفاق نمی افتد.

اُم باشد، هرجملهnاُم آن تعداد جفت ها در ماه nاگر دنباله ای تشکیل دهیم که جمله

مجموع دو جمله پیش از خود خواهد بود . جملات این دنباله به صورت زیر خواهد بود وبه همین شکل پیش می روند تا جایی که پس از دوازده ماه تعداد خرگوش ها به 233 جفت می رسد.

دنباله مورد نظر : 233….،1،1،2،3،5،8،13،21

در این مسئله اگر شرط محدود کننده دوازده ماه را در نظر نگیریم ، روند جملات دنباله به همین شکل ادامه می یابد و حاصل همان دنباله فیبوناچی است ؛ به عبارت دیگر تعداد جملات دنباله فیبوناچی نامتناهی است و البته این دنباله بی کران می باشد و از بالا کرانی ندارد .

دنباله فیبوناچی : …،1،1،2،3،5،8،13،21،34،55

باتوجه به جملات دنباله ، ملاحظه می کنیم که هر جمله از مجموع دوجمله قبل خود بدست می آید.

بنابراین هر جمله در این دنباله به جملات قبلی خود مربوط و وابسته می باشد، پس از نوع دنباله های بازگشتی می باشد . همچنین با توجه به روند رو به رشد وافزایش جملات دنباله صعودی است و چون بی کران می باشد وجملات به سمت عدد معین ویکتایی میل نمی کنند ، دنباله واگرا می باشد.

شما می توانید برای مشاوره و اطلاع از دوره های آموزشی سامان سلامیان ، با شماره های زیر تماس حاصل فرمایید :
۰۹۲۱۳۳۶۳۱۹۸ – ۰۲۱۲۶۶۴۵۱۶۱

دنباله فیبوناچی در طبیعت

دنباله فیبوناچی در طبیعت هم قابل لمس هست . از جمله مواردی که می توان به آن ها اشاره کوچکی داشت بروز دنباله فیبوناچی در خانواده گل های مرکب والبته گل آفتابگردان می باشد . همچنین مارپیچ صدف حلزون گرمسیری هم نشان دهنده دنباله فیبوناچی می باشد .

عدد(نسبت) طلایی

نکته جالب وقابل طرحی که در دنباله فیبوناچی به چشم می خورد این هست که با کمی دقت ودانش ریاضی می توان الگو های متفاوتی را با ایجاد ارتباط به شکل های مختلف بین جملات فیبوناچی پیدا کرد برای مثال تقسیم کردن اعداد فیبوناچی بر عددهای دیگر می تواند الگوی جدیدی را ایجاد کند . یکی از جالب ترین الگو ها ، الگویی است که از خارج قسمت های تقسیم هر عدد فیبوناچی به عدد فیبوناچی ما قبل خود به دست می آید :

خارج قسمت	عددفیبوناچی ماقبل	عددفیبوناچی
	0	1
1	1	1
2	1	2
1.5	2	3
1.66666	3	5
1.6	5	8
1.625	8	13
1.61538	13	21
1.61905	21	34
1.61765	34	55
1.61818	55	89
1.61798	89	144
1.61806	144	233
1.61803	233	377
1.61804	377	610
1.61803	610	987
1.61803	987	1597

نسبت(تقسیم) جمله های متوالی دنباله فیبوناچی به سمت مقدار …1.61803 میل می کند که مقدار عدد گنگ فی (ø) است که به این عدد ، عدد یا نسبت طلایی می گویند .

عددطلایی = …1.61803

بنابراین الگوی حاصل شده همگرا وکران دار هست وبا مقادیر گویا به سمت عدد گنگ فی می رود .

مستطیل طلایی

شاید تاکنون چیزی درباره تقسیم طلایی یا مستطیل طلایی شنیده باشید. تقسیم طلایی، تقسیم یک پاره خط به دوقسمت است به طوری که نسبت طول پاره خط به طول قسمت بزرگتر با نسبت طول قسمت بزرگتر به قسمت کوچکتر برابر باشد. این نسبت را که تقریبا برابر با …1.61803 است، عدد طلایی می نامیم.

مستطیل طلایی ، مستطیلی است که نسبت طول به عرضش برابر این عدد باشد .در واقع نسبت مجموع طول وعرض این مستطیل به طول مستطیل برابر با نسبت طول به عرض آن والبته برابر با عدد طلایی می باشد .

مستطیل طلایی و هنر

افراد زیادی بر این باورند که دست کم چهار هزار سال است که بشر از نسبت طلایی در هنر وطراحی استفاده می کند .این افراد اصول ساخت اهرام ثلاثه مصر را به نسبت طلایی مربوط می دانند. در عصر حاضر این نسبت در موسیقی، هنر و طراحی اطراف شما به راحتی قابل مشاهده می باشد.

در طول تاریخ همواره از نسبت طلایی در هنر و طراحی استفاده شده است و در تمامی آثار از معماری تا شاهکارهای نقاشی قابل مشاهده می باشد. در این جا چند مثال را به شما معرفی می کنیم :

*معبد پارتون :

یونانیان باستان از نسبت طلایی برای ایجاد ارتباط هنرمندانه بین عرض و ارتفاع ، اندازه سرسرا وحتی محل ستون های نگهدارنده بنا بهره می برند. نتیجه کار ساختمانی بود که از هر لحاظ متناسب به نظر می رسید . معماران نئوکلاسیک نیز از همین روش استفاده می کردند.

*تابلوی شام آخر لئوناردو داوینچی :

داوینچی مانند بسیاری از هنرمندان دیگر ، از نسبت طلایی برای خلق ترکیب بندی های بی نظیر به وفور استفاده کرده است . در تابلوی شام آخر ، تصویر در دوسوم پایینی قرار گرفته است و عیسی مسیح درست در مستطیل طلایی قرار داده شده است.

*مونالیزا:

با نگاهی به نقاشی معروف مونالیزا در می یابیم ، در این شاهکار داوینچی نیز نسبت طلایی، بسیار هنرمندانه رعایت شده است.