حل معادله درجه دو

حل معادله درجه دوم، در دوره دبیرستان تدریس می‌شود و از مهمترین مباحث ریاضیات دبیرستانی است ؛ در کتاب ریاضی یک دوره دوم متوسطه آمده است که وقتی درجه قویترین جمله چند جمله‌ای برابر دو است، یک عبارت درجه دو داریم و نمودار تابع آن شبیه سهمی است.

می‌خواهیم ببینیم این سهمی در صورت برخورد با محور طول‌ها  آنرا در چه ایکسی قطع می‌کند یا بر آن مماس می‌شود.

حل معادله درجه دوم یعنی پیدا کردن ایکس‌هایی که به ازای آنها معادله برابر صفر می‌شود‌ بر عکس معادله درجه اول که حتما و قطعا یک ریشه دارد ؛ معادله درجه دو می‌تواند ریشه نداشته باشد یعنی هیچ عدد حقیقی پیدا نشود که آنرا صفر کند.

اگر از شما پرسیده شد که معادله درجه دو چند چواب دارد نباید بلافاصله و بی درنگ بگویید : دو تا، بلکه ممکن است یک جواب داشته باشد یا اصلا جواب نداشته باشد.

در حالت کلی ؛ یک معادله درجه n حداکثر n ریشه دارد.

دقت کنید گفتیم : “حداکثر” یعنی یک معادله درجه دو ؛ حداکثر دو ریشه دارد یعنی دو ریشه ؛ یک ریشه یا هیچ ریشه!

این را هم بدانید که یک معادله چندجمله‌ای با توان فرد ( که قویترین درجه‌اش فرد است) ؛ حداقل یک ریشه را دارد . یعنی نمودار آن، دست‌کم یک‌بار به محور ایکس‌ها برخورد می‌کند.

روش‌های رایج حل معادله درجه دوم

در این مقاله می‌خواهیم روش‌های رایج حل معادله درجه دوم را برایتان توضیح بدهیم.

روش دلتا:

ax² + bx + c = 0

ضرایب a و b و c را تعیین می‌کنیم.

در معادله درجه دو ؛ عبارت Δ= b² – 4ac را مُبیّن ( بیانگر ) می‌نامند که با علامت خود بیان می‌کند که معادله دو ؛ دو جواب یا یک جواب یا هیچ جواب حقیقی دارد.

• اگر دلتا منفی باشد ؛ معادله جوابی در مجموعه اعداد حقيقي ندارد.
• اگر دلتا برابر صفر باشد معادله دارای دو ریشه مساوی یا یک ریشه مضاعف هست.
• اگر دلتا مثبت باشد ؛ معادله دارای دو ریشه حقیقی است.

x₁=(-b+√( (b²⁻4ac))/2a

x₂=(-b₋√( (b²⁻4ac))/2a

دقت کنید که روش دلتا یک روش کلاسیک و همیشگی برای حل همه معادلات درجه دوم هست اما بعضی از حالت های خاص معادله درجه دو هم هست که نیازی نیست با روش دلتا آن‌را حل کنیم و روش‌های ساده‌تری برای حل آن‌ها وجود دارد.

حل معادله درجه دوم در حالت‌های خاص:

الف) اگر مجموع ضرایب معادله درجه دو ؛ برابر صفر باشد ، یعنی a+b+c=0 یکی از جواب‌ها برابر عدد یک x=1 و دیگری x=c/a  هست.

ب) اگر مجموع a و c برابر b باشد ؛ یعنی a+c=b یکی از جواب‌ها برابر منهای یک و دیگری برابرc/a- هست.

■ دقت کنید همواره ضرب دو ریشه معادله درجه دو؛ باید برابر c/a باشد.

ج) در مواردی که عدد ثابت صفر است, یعنی c=0 از یک ایکس فاکتور می‌گیریم ، معادله درجه دو به‌سادگی حل می‌شود مثلا به حل معادله درجه دوم زیر دقت کنید:

x²+5x=0

x(x+5)=0

x=0 و x=5

د) روش روسی: در مواردی که ضریب درجه دو غیر از عدد یک هست ؛ حل به کمک روش دلتا ممکن است طولانی باشد چرا که اعداد بزرگ شده و محاسبه رادیکال دلتا بدون ماشین حساب دشوار می‌شود،اگر a را در c ضرب کنیم ؛

ممکن است معادله؛ به یکی از دو مورد خاص الف یا ب تبدیل بشود ؛ که ریشه ها را به کمک موارد الف و ب پیدا می‌کنیم ؛ البته ریشه‌های واقعی معادله درجه دوم اصلی، از تقسیم همین ریشه‌های پیدا شده بر عدد a حاصل می‌شود‌.

5x²+21x+4=0

ضریب درجه دو یعنی a را در ضرب c می‌کنیم :

x²+21x+20=0

در این معادله، مجموع a و c برابر b است ؛ پس یکی از ریشه‌ها برابر منهای یک و دیگری برابر منهای c تقسیم بر a یعنی منهای بیست هست.

حال برای یافتن ریشه‌های معادله اصلی داده شده این ریشه ها را بر عدد پنج تقسیم می‌کنیم تا جواب های اصلی بدست آیند. یعنی یک ریشه منهای یک پنجم و دیگری چهار هست.

《☆》چند نکته مهم که کمتر جایی دیده‌اید :

یک) در معادله درجه دوم اگر ضریب قویترین درجه یعنی a به سمت صفر میل کند و ضرایب، b و c ثابت باشند ؛ یک ریشه به سمت بی‌نهایت و دیگری به سمت -c/b میل می‌کند.

دو) اگر a و b به سمت صفر میل کنند ، هر دو ریشه به سمت بی‌نهایت میل می‌کنند.

سه ) اگر a و b و c صفر شوند ؛ معادله بیشمار جواب دارد ، چرا که هر عددی در معادله صدق می‌کند.

فیلم و جزوه ریاضی

در وبسایت دکتر سامان سلامیان فیلم و جزوه ریاضی وجود دارد که دکتر سامان‌ سلامیان به طور کامل و زبان ساده همه مطالب ریاضی دبیرستانی را آموزش می‌دهند.

با مراجعه به این سایت ؛ آموزش،ریاضی ششم تا کنکور وجود دارد. خصوصا بسته جامع ریاضی همه نکات لازم برای کسب نتیجه خوب در کنکور سراسری و کنکورهای آزمایشی  قلمچی، گاج ؛ سنجش ، گزینه دو ؛ ماز وجود دارد.