کاربرد مشتق

کاربرد مشتق

کاربرد مشتق همیشه چند تست از کنکور رو به خودش اختصاص میده که گاهی بچه‌ها ازش میترسن و با شک و تردید سراغش میرن برای حل این داستان چند مطلب براتون میگم:

برای تشخیص صعودی یا نزولی بودن تابع کافیه مشتق اول رو تعیین علامت کنیم.
تعیین علامت هم با پیدا کردن ریشه‌های صورت و مخرج مشتق و تعداد تکرار اون‌ها یا اسم اونا مشخص میشه .
حتما می‌دونید که توابع در ریشه‌های ساده یا مکرر مرتبه فرد ، تغییر علامت میدن اما در ریشه‌های مضاعف یا مکرر مرتبه زوج‌شون تغییر علامت نمیدن.

هرجا مشتق مثبت بود تابع صعودی و هرجا منفی بود تابع نزولیه.

دقت کنید اگر توی یه بازه مشتق صفر بود تابع توی اون بازه ثابته!
پس کافیه اگه برای یه تابعی کلا مشتق روی دامنه‌اش صفر شد اونو برابر یه عددی مثل k فرض کنیم و با دادن یه عدد دلخواه از دامنه به تابع اصلی ، k رو پیدا کنیم.

اینم اضافه کنم اگه تو یه نقطه مشتق صفر شد لزوما اون نقطه اکسترمم نیست ، مثل اتفاقی که برای تابع
لُر توی مبدا میوفته.

اینم خیلی مهمه که بگم :

” صفر شدن مشتق ، برای وجود اکسترمم نه شرط لازم هست نه شرط کافی.”

چرا‌که مثلا در تابع لُر مشتق در ایکس،برابر صفر، صفره ولی آن نقطه اکسترمم نیست. و یا در قدرمطلق ایکس ، x=0 اکسترمم هست ولی مشتق در آن نقطه ، صفر نیست و اصلا وجود هم ندارد!

نکته مهم اینه که :

وقتی توی یه نقطه مشتق صفر میشه ، فقط میتونیم بگیم مماس تو اون نقطه افقیه و بس!
اگه علامت مشتق در دو طرف اون نقطه عوض بشه اونجا اکسترممه ولی اگه مشتق تو اون نقطه تغییر علامت نده ، اون
نقطه اکسترمم نیس که ریاضیا بهش میگن عطف‌افقی

مثلا توی سهمی ایکس به توان دو یا تابع لُر مشتق در x=0 صفره و مماس افقیه ولی فقط توی سهمی مذکور نقطه x=0 اکستممه و توی لُر x=0 اکستمم نیست.

پس من و تو گدای صفر شدن مشتق نیستیم ، گدای اینیم که ببینیم دو طرف اون نقطه ، مشتق تغییر علامت میده یا نمی‌ده!