یافتن اکسترمم‌های نسبی

یافتن اکسترمم های نسبی؛ آموزش ساده و کامل با مثال

اگر تازه وارد مبحث مشتق شده اید، احتمالا این سوال برایتان پیش آمده که اکسترمم چیست و چگونه می توان اکسترمم های نسبی یک تابع را پیدا کرد. این موضوع یکی از مهم ترین بخش های حسابان است و در بسیاری از سوالات امتحانی و کنکور نیز دیده می شود. خوشبختانه یادگیری آن اصلا سخت نیست و اگر مفهوم آن را به زبان ساده بدانید، پیدا کردن اکسترمم نسبی برایتان بسیار راحت خواهد شد.

در این مقاله به زبان ساده یاد می گیریم که اکسترمم نسبی چیست، تعریف اکسترمم نسبی چیست، چگونه نقاط آن را پیدا کنیم و آیا تابع ثابت اکسترمم نسبی دارد یا خیر.

اکسترمم چیست؟

قبل از اینکه درباره اکسترمم نسبی صحبت کنیم، بهتر است بدانیم اکسترمم چیست.

به طور کلی، اکسترمم به نقطه ای گفته می شود که مقدار تابع در آن نسبت به سایر نقاط بیشتر یا کمتر باشد. به عبارت دیگر، هر جا نمودار به یک قله یا یک دره برسد، احتمال دارد با یک اکسترمم روبه رو باشیم.

اکسترمم ها به دو دسته تقسیم می شوند:

• بیشینه نسبی
• کمینه نسبی

اکسترمم نسبی چیست؟

اگر بخواهیم تعریف اکسترمم نسبی را خیلی ساده بیان کنیم، می توان گفت:

اکسترمم نسبی نقطه ای از تابع است که مقدار آن فقط نسبت به نقاط اطراف خودش بزرگ تر یا کوچک تر باشد، نه لزوما نسبت به کل نمودار.

برای مثال اگر روی یک جاده کوهستانی حرکت کنید، ممکن است به بالای یک تپه برسید. این نقطه نسبت به اطراف خود بلندترین قسمت است، اما شاید در ادامه مسیر کوه بلندتری وجود داشته باشد. این همان مفهوم اکسترمم نسبی است.

نقاط اکسترمم نسبی چگونه به دست می آیند؟

برای پیدا کردن اکسترمم نسبی معمولا از مشتق استفاده می کنیم.

مراحل کار به صورت زیر است:

1. مشتق تابع را محاسبه کنید.
2. مقدارهایی را پیدا کنید که مشتق صفر شود یا مشتق وجود نداشته باشد.
3. علامت مشتق را در دو طرف این نقاط بررسی کنید.
4. اگر مشتق از مثبت به منفی تغییر کند، نقطه بیشینه نسبی است.
5. اگر مشتق از منفی به مثبت تغییر کند، نقطه کمینه نسبی است.

این نقاط را نقاط اکسترمم نسبی می نامند.

مثال ساده برای پیدا کردن اکسترمم نسبی

فرض کنید تابع زیر را داشته باشیم:

f(x)=x²−4x+3

ابتدا مشتق را به دست می آوریم:

f′(x)=2x−4

حال مشتق را برابر صفر قرار می دهیم:

2x−4=0

در نتیجه:

x=2

اگر علامت مشتق را بررسی کنیم، مشاهده می شود که قبل از عدد ۲ مشتق منفی و بعد از آن مثبت است. بنابراین در x=2 یک اکسترمم نسبی از نوع کمینه داریم.

اکسترمم نسبی تابع ثابت

یکی از سوالات پرتکرار دانش آموزان این است که اکسترمم نسبی تابع ثابت چگونه است؟

فرض کنید تابع زیر را داشته باشیم:

f(x)=5

در این حالت مقدار تابع در تمام نقاط برابر ۵ است و هیچ تغییری نمی کند.

به همین دلیل مشتق تابع در همه نقاط برابر صفر است.

آیا تابع ثابت اکسترمم نسبی دارد؟

پاسخ این سوال به تعریفی که کتاب یا استاد شما استفاده می کند بستگی دارد.

در بسیاری از کتاب های دانشگاهی گفته می شود که چون مقدار تابع ثابت در همه نقاط برابر است، هر نقطه می تواند هم بیشینه نسبی و هم کمینه نسبی باشد.

بنابراین می توان گفت تابع ثابت اکسترمم نسبی دارد.

البته در برخی منابع آموزشی دبیرستان، به دلیل اینکه تابع هیچ قله یا دره مشخصی ندارد، ممکن است این موضوع به شکل متفاوتی بیان شود. بنابراین بهتر است تعریف کتاب درسی خود را ملاک قرار دهید.

تفاوت اکسترمم نسبی و اکسترمم مطلق

بسیاری از دانش آموزان این دو مفهوم را با هم اشتباه می گیرند.

اکسترمم نسبی فقط نقاط اطراف را بررسی می کند، اما اکسترمم مطلق کل دامنه تابع را در نظر می گیرد.

ممکن است یک تابع چندین اکسترمم های نسبی داشته باشد، اما فقط یک بیشینه یا کمینه مطلق داشته باشد.

نکات مهم برای یافتن اکسترمم های نسبی

• همیشه ابتدا مشتق تابع را محاسبه کنید.
• نقاطی که مشتق صفر یا تعریف نشده است را بررسی کنید.
• فقط صفر شدن مشتق کافی نیست و باید تغییر علامت مشتق را نیز بررسی کنید.
• تمام نقاط اکسترمم نسبی را روی نمودار مشخص کنید تا تشخیص آن ها آسان تر شود.
• درباره اینکه تابع ثابت اکسترمم نسبی دارد یا خیر، به تعریف کتاب یا منبع آموزشی خود توجه کنید.

جمع بندی

اکنون می دانید که اکسترمم چیست و اکسترمم نسبی چیست. همچنین با تعریف اکسترمم نسبی، روش پیدا کردن اکسترمم نسبی و نحوه تشخیص نقاط اکسترمم نسبی آشنا شدید. مهم ترین ابزار برای یافتن اکسترمم های نسبی استفاده از مشتق و بررسی تغییر علامت آن است. همچنین یاد گرفتیم که درباره این پرسش که تابع ثابت اکسترمم نسبی دارد یا خیر، بسته به تعریف مورد استفاده در منبع آموزشی ممکن است پاسخ متفاوتی ارائه شود.

🔹 در تابع ناپیوسته️ ممکن است علامت مشتق در دو طرف نقطه‌ای تغییر بکند ولی آن نقطه اکسترمم نسبی نباشد.
❓تابعی رسم کنید که در این شرایط صدق کند.
اگر دوست دارید این موارد رو کامل‌تر ببینید ، فیلم‌های آموزشی مدرسه تخصصی ریاضی در اختیارتون قرار می‌گیره.

ضمنا تیم مدرسین مدرسه تخصصی ریاضی با نظارت استاد سلامیان بهترین دبیر ریاضی در پاسخگویی شما حاضرند.
ما رو کانال آپارات با محتوای رایگان آموزشی هم دنبال کنید.

تلفن ۰۲۱۲۶۶۴۵۱۶۱ آماده پاسخگویی به شما عزیزان در مورد درس ریاضی در کنکور شماست.