نقطه بحرانی

نقطه بحرانی یا Critical Point

یکی از کتاب‌هایی که منبع کتاب درسی هم هست کتابی‌است تحت عنوان :
College Algebra & Calculus
An Applied Approach

اثر
Larson & Hodgkins

که در مورد نقطه‌های بحرانی این‌گونه نوشته است:
نقطه‌ای از دامنه تابع است که مشتق در آن ، صفر یا وجود ندارد.
سر و ته بسته بازه بنا به اصلاحیه کتاب درسی در سال نود و هشت ، بحرانی محسوب می‌شود.

این موضوع هم روی مختان نرود که بالاخره سر و ته بازه بحرانی هست یا نه و کدوم داستان درسته ؟ چرا ؟ چون هدف ما رسم تابع در صفحه مختصات هست و این‌که کتاب مرجع فلان یا بیسار چی نوشته در شکل و نمودار تابع تغییری ایجاد نمی‌کنه
اینم اضافه کنم با همه احترامی که برای دوستای مولفم قائلم کتاب درسی منبع اصلی طرح تست هست .پس نرید رای‌گیری کنید بگید کتاب کمک درسی a,b, c, گفتن این پس این درسته .راستش منظور از کتب مرجع کتاب‌هایی هست که در انتهای کتاب درسی چاپ دفتر تالیف کتب درسی به اونها اشاره شده نه انتشارات فلان و بیسار .

سامان سلامیان با ارائه برنامه ای هدفمند و دقیق راه موفقیت در کنکور را برای دانش آموزان هموار می سازند. شما می توانید برای شرکت در کلاس های تقویتی با شماره های زیر تماس بگیرید : ۰۹۱۲۱۰۶۳۱۹۸ – ۰۲۱۲۶۶۴۵۱۶۱

به دیگر زبان

هرجا بتوان بر تابع مماس افقی کشید بحرانیست مثل : اکسترمم‌های مشتق پذیر ، عطف افقی و تابع ثابت.

از طرفی سامانیان هم در نوشته‌های خود دارند که :
“تابلوترین بحرانی روزگار ، تابع ثابت است.”

چرا که در زندگی آدمی هم ثابت بودن خود نوعی بحران محسوب می‌شود!

نقاطی که تابع در آن‌ها مشتق‌پذیر نیست مثل نقاط ناپیوسته موجود در دامنه، گوشه ، نقاط با مماس قائم که مشتق در آنها تعریف نشده یا در همسایگی آن‌ها بی‌نهایت است ، همگی بحرانی‌اند.

برخی داوطلبان کنکور در شمارش نقاط بحرانی دچار اشتباه می‌شوند یعنی وقتی درگیر کنترل شرایط می‌شوند مثلا شرط وجود در دامنه را فراموش می‌کنند.

در این نوشتار دقت شما را به بعضی نکات جلب می‌کنم.

🔹️ریشه مخرج هرگز ، بحرانی محسوب نمی‌شود، چراکه در دامنه تابع نیستند.
🔹️سر و ته بسته بازه بحرانی محسوب می‌شوند.
🔹️هر نقطه اکسترمم نسبی بحرانیست ولی هر نقطه بحرانی لزوما اکسترمم نیست، مثلا مبدا مختصات برای تابع ایکس به‌توان سه، بحرانیست در حالی‌که اکسترمم محسوب نمی‌شود.
🔹تابع در ️بازه‌هایی که در آن ثابت است ، بی‌شمار بحرانی دارد.
🔹️نقاط بحرانی توابع چند جمله‌ای و گویا از عمل مشتق برابر صفر بدست می‌آیند.
🔹️در توابع چند ضابطه‌ای علاوه بر نقاط،بحرانی هر ضابطه که در شرط جلوی ضابطه هستند به عدد تغییر ضابطه هم توجه می‌کنیم ،در صورت ناپیوستگی یا مشتق‌ناپذیری بحرانی محسوب می‌شوند.
🔹️در توابع قدرمطلقی ، یک‌بار عبارت داخل قدرمطلق و یک‌بار مشتق آن‌عبارت را برابر صفر قرار می‌دهیم
🔷️ دقت : ریشه ساده داخل قدرمطلق طول نقطه گوشه‌ است و به جُرم مشتق‌ناپذیری بحرانی است ولی همه ریشه‌های داخل قدرمطلق بحرانی هستند چراکه در ریشه‌های غیر ساده ، تابع قدرمطلقی مماس افقی خواهد داشت ، از طرف دیگر هرجا مشتق عبارت داخل قدر مطلق صفر شود هم بحرانیست چراکه مماس افقیست.
🔹️در توابع رادیکالی یک بار صورت مشتق و یک‌بار مخرج مشتق را صفر می‌کنیم
🔷️ دقت کنید ریشه‌های تکراری را یک بار بشمارید و از دیگر سو دقت کنید ریشه‌ها در دامنه تابع باشند . خصوصا در رادیکال‌های فرجه زوج

امیدوارم نکات فوق به دردتون بخوره و یه تست کنکور رو درست بزنید.

سامان سلامیان

کاربرد مشتق

کاربرد مشتق

کاربرد مشتق همیشه چند تست از کنکور رو به خودش اختصاص میده که گاهی بچه‌ها ازش میترسن و با شک و تردید سراغش میرن برای حل این داستان چند مطلب براتون میگم:

برای تشخیص صعودی یا نزولی بودن تابع کافیه مشتق اول رو تعیین علامت کنیم.
تعیین علامت هم با پیدا کردن ریشه‌های صورت و مخرج مشتق و تعداد تکرار اون‌ها یا اسم اونا مشخص میشه .
حتما می‌دونید که توابع در ریشه‌های ساده یا مکرر مرتبه فرد ، تغییر علامت میدن اما در ریشه‌های مضاعف یا مکرر مرتبه زوج‌شون تغییر علامت نمیدن.

هرجا مشتق مثبت بود تابع صعودی و هرجا منفی بود تابع نزولیه.

دقت کنید اگر توی یه بازه مشتق صفر بود تابع توی اون بازه ثابته!
پس کافیه اگه برای یه تابعی کلا مشتق روی دامنه‌اش صفر شد اونو برابر یه عددی مثل k فرض کنیم و با دادن یه عدد دلخواه از دامنه به تابع اصلی ، k رو پیدا کنیم.

اینم اضافه کنم اگه تو یه نقطه مشتق صفر شد لزوما اون نقطه اکسترمم نیست ، مثل اتفاقی که برای تابع
لُر توی مبدا میوفته.

اینم خیلی مهمه که بگم :

” صفر شدن مشتق ، برای وجود اکسترمم نه شرط لازم هست نه شرط کافی.”

چرا‌که مثلا در تابع لُر مشتق در ایکس،برابر صفر، صفره ولی آن نقطه اکسترمم نیست. و یا در قدرمطلق ایکس ، x=0 اکسترمم هست ولی مشتق در آن نقطه ، صفر نیست و اصلا وجود هم ندارد!

سامان سلامیان با ارائه برنامه ای هدفمند و دقیق راه موفقیت در کنکور را برای دانش آموزان هموار می سازند. شما می توانید برای شرکت در کلاس های تقویتی با شماره های زیر تماس بگیرید : ۰۹۱۲۱۰۶۳۱۹۸ – ۰۲۱۲۶۶۴۵۱۶۱

 

نکته مهم اینه که :

وقتی توی یه نقطه مشتق صفر میشه ، فقط میتونیم بگیم مماس تو اون نقطه افقیه و بس!
اگه علامت مشتق در دو طرف اون نقطه عوض بشه اونجا اکسترممه ولی اگه مشتق تو اون نقطه تغییر علامت نده ، اون
نقطه اکسترمم نیس که ریاضیا بهش میگن عطف‌افقی

مثلا توی سهمی ایکس به توان دو یا تابع لُر مشتق در x=0 صفره و مماس افقیه ولی فقط توی سهمی مذکور نقطه x=0 اکستممه و توی لُر x=0 اکستمم نیست.

پس من و تو گدای صفر شدن مشتق نیستیم ، گدای اینیم که ببینیم دو طرف اون نقطه ، مشتق تغییر علامت میده یا نمی‌ده!

Call Now Buttonتماس با استاد سلامیان